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Problème

Soit un trièdre $P_1, P_2, P_3$ situé dans un repère $Oxyz$. Le problème est de trouver la transformation permettant de transporter $P_1$ à l'origine, positionner $P_2$ sur l'axe $Oz$ et placer $P_3$ dans le plan $yOz$.

Méthode

Pour réaliser cela il faut :

1. faire une translation de $P_1$ vers $O$,
2. faire une rotation autour de $Oy$ afin de placer $P_2$ dans le plan $yOz$,
3. faire une rotation autour de $Ox$ afin de placer $P_2$ sur la droite $Oz$,
4. faire une rotation autour de $Oz$ afin de placer $P_3$ dans le plan $yOz$.

Soit les trois points :

$P_1=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ x_1 $ $ y_1 $ $ z_1 $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$, $P_2=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ x_2 $ $ y_2 $ $ z_2 $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$, $P_3=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ x_3 $ $ y_3 $ $ z_3 $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$.

Translation de $P_1$ vers $O$

La translation ${\cal T}_{\stackrel{\rightarrow}{P_1O}}= \mbox{$\left[ \begin{tabular}{cccc} ... ... & $ -z_1 $ \\ $ 0 $ & $ 0 $ & $ 0 $ & $ 1 $ \\ \end{tabular}\right]$}$

Donc on obtient la suite de points suivants :

$P'_1=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ 0 $ $ 0 $ $ 0 $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$, $P'_2=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ x_2-x_1 $ $ y_2-y_1 $ $ z_2-z_1 $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$, $P'_3=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ x_3-x_1 $ $ y_3-y_1 $ $ z_3-z_1 $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$.

Rotation autour de $Oy$

On définit l'angle $\theta$ comme étant l'angle formé par la projection de $P'_1$ et $P'_2$ sur le plan $xOz$ avec l'axe $Oz$.

La rotation s'écrit ${\cal R}_{Oy}(\theta)= \mbox{$\left[ \begin{tabular}{cccc} $ \cos(\theta) $... ...) $ & $ 0 $ \\ $ 0 $ & $ 0 $ & $ 0 $ & $ 1 $ \\ \end{tabular}\right]$}$

Or $\theta$ est un angle négatif (ie : c'est a dire qu'il est dans le sens des aiguilles d'une montre lorsqu'on le suit en étant placé sur la partie positive de l'axe de rotation et que le regard porte vers l'origine). On a donc :

$\cos(\theta)=\cos(-\theta)$

$\sin(\theta)=-\sin(-\theta)$

Donc la rotation s'écrit ${\cal R}_{Oy}(\theta)= \mbox{$\left[ \begin{tabular}{cccc} $ \cos(-\theta) ... ...) $ & $ 0 $ \\ $ 0 $ & $ 0 $ & $ 0 $ & $ 1 $ \\ \end{tabular}\right]$}$

avec :

$\cos(-\theta)=\frac{z_{P'_2}}{\sqrt{x^2_{P'_2}+z^2_{P'_2}}}$

$\sin(-\theta)=\frac{x_{P'_2}}{\sqrt{x^2_{P'_2}+z^2_{P'_2}}}$

Donc on obtient la suite de points suivants :

$P''_1=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ 0 $ $ 0 $ $ 0 $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$, $P''_2=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ 0 $ $ y_2-y_1 $ $ \frac{(x_2... ...1)^2} {\sqrt{(x_2-x_1)^2+(z_2-z_1)^2}} $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$, $P''_3=\mbox{$\left[ \begin{tabular}{c} $ \frac{(x_3-x_1)(z_2-z_1)-(z_3-z_1)(x... ...z_1)} {\sqrt{(x_2-x_1)^2+(z_2-z_1)^2}} $ $ 1 $ \end{tabular} \right]$}$.

Rotation autour de $Ox$

On définit l'angle $\varphi$ comme étant l'angle formé par la droite $\overline{P''_1P''_2}$ avec l'axe $Oz$.

La rotation s'écrit ${\cal R}_{Oz}(\varphi)= \mbox{$\left[ \begin{tabular}{cccc} $ 1 $ & $ 0 $ ... ...) $ & $ 0 $ \\ $ 0 $ & $ 0 $ & $ 0 $ & $ 1 $ \\ \end{tabular}\right]$}$

Cette fois l'angle $\varphi$ est mesuré positivement.

$\cos(\varphi)=\frac{z_{P''_2}} {\sqrt{y^2_{P''_2}+z^2_{P''_2}}}$

$\sin(\varphi)=\frac{y_{P''_2}} {\sqrt{y^2_{P''_2}+z^2_{P''_2}}}$

Rotation autour de $Oz$

On définit l'angle $\psi$ comme étant l'angle formé par la projection de la droite $\overline{P'''_1P'''_3}$ sur le plan $xOy$ avec l'axe $Oy$.

La rotation s'écrit ${\cal R}_{0y}(\psi)= \mbox{$\left[ \begin{tabular}{cccc} $ \cos(\psi) $ & $... ...1 $ & $ 0 $ \\ $ 0 $ & $ 0 $ & $ 0 $ & $ 1 $ \\ \end{tabular}\right]$}$

Encore une fois on peut remarquer que l'angle est mesuré positivement.

$\cos(\psi)=\frac{y_{P'''_3}} {\sqrt{x^2_{P'''_3}+y^2_{P'''_3}}}$

$\sin(\psi)=\frac{x_{P'''_3}} {\sqrt{x^2_{P'''_3}+y^2_{P'''_3}}}$